Cours de calcul formel - Algorithmes fondamentaux

Présentation

Le calcul formel a connu un développement rapide durant les vingt dernières années. C'est un outil calculatoire digne d'intérêt pour tout ingénieur ou chercheur. Il fait partie des programmes de l'agrégation de mathématiques et des concours d'entrée à plusieurs grandes écoles. Aujourd'hui, des calculatrices de poche dérivent, intègrent, réalisent des calculs matriciels de manière formelle. Les algorithmes qui sous-tendent ce développement sont purement algébriques. Au travers de quelques résultats d'algèbre élémentaire, nous essayons de montrer comment l'algèbre et l'informatique sont deux disciplines qui se fécondent l'une l'autre. Cet ouvrage n'est pas un cours d'algèbre classique : il veut sensibiliser les étudiants aux problèmes que l'on rencontre au contact des ordinateurs et veille à ce que les solutions données aux problèmes rencontrés soient réellement utilisables en pratique. La démarche suivie consiste à montrer comment construire une solution effective à un problème donné puis à en déduire un algorithme efficace. Cet algorithme sera ensuite appliqué à des exemples non triviaux dont on cherchera à évaluer la complexité. Cette approche nous semble fructueuse sur plus d'un plan : elle permet de prendre contact avec le monde des mathématiques appliquées et d'enseigner les structures algébriques sous une forme extrêmement concrète. Par exemple, on prendra conscience de la pertinence de la notion d'anneau euclidien en voyant comment on peut effectuer des calculs identiques dans des ensembles aussi différents que les entiers de Gauss et les anneaux de polynômes sur un corps. Voilà qui simplifie les tâches et donne du sens à l'abstraction. C'est là une profonde conviction que nous désirons faire partager dans ce livre.
Chapitre I : Algorithmique. I.l Calcul formel : quelques généralités. I.2 De la complexité des calculs. I.3 De la conception d'un algorithme. Exercices.
Chapitre II : Codage et arithmétique élémentaire. II.1 Bases de numération et codage informatique. II.2 Arithmétique des nombres entiers. II.3 Arithmétique des polynômes. Exercices.
Chapitre III : Anneaux factoriels. et euclidiens. III.1 Anneaux factoriels. III.2 Anneaux euclidiens. III.3 L'algorithme d'Euclide. III.4 Analyse de l'algorithme d'EUCLIDE dans Z. III.S Recherche du pgcd dans un anneau de polynômes. Exercices.
Chapitre IV : L'ensemble Z/nZ. et applications. IV.I Généralités. IV.2 Systèmes congruents. IV.3 Calculs modulaires. IV.4 Quelques applications en arithmétique. IV.5 Une petite initiation à la cryptographie. Exercices.
Chapitre V : Calculs polynomiaux. V.l Interpolation dans Z[X]. V.2 Calculs dans Z[Xl,…, Xn]. Exercices.
Chapitre VI : Séries formelles. VI.I L'anneau des séries formelles. VI.2 Suites récurrentes linéaires. VI.3 Suites P-récurrentes et équations différentielles dans Z[[X]]. VI.4 Une application combinatoire : les nombres de CATALAN. Exercices.
Chapitre VII : Systèmes d'équations. VII.I Résolution de systèmes linéaires. VII.2 Résultants. VII.3 Applications. Exercices. Annexe : Programmation avec Maple V. Bibliographie. Index