Modèles de Bézier, des B-splines et des NURBS - Mathématiques des courbes et des surfaces

Présentation

Cet ouvrage présente les modèles mathématiques qui sont à la base de la conception et de la construction des courbes et des surfaces utilisées en CAO et en CFAO. Outre une étude mathématique qui présente des aspects très intéressants, le but recherché est de favoriser la compréhension des méthodes pratiques et interactives qui sont au cœur des logiciels de CAO. Les modèles de courbes et de surfaces de Bézier et de B-splines sont étudiés de façon globale et locale par des démarches de type géométrique et de type analytique. De nombreuses illustrations permettent de suivre les raisonnements utilisés et les résultats obtenus. Les démonstrations débutent par des exemples simples où les arguments sont plus compréhensibles.
L'ouvrage s'adresse à un très large public : ingénieurs et techniciens des bureaux d'études, étudiants des Écoles d'ingénieurs, des Masters et Licences 3ème année techniques, des Instituts universitaires professionnels, des élèves de certaines classes préparatoires. De façon générale, il s'adresse à tous ceux qui sont amenés à utiliser des logiciels de CAO faisant intervenir ces courbes et ces surfaces. Le niveau d'accès oscille entre Bac+1 et Bac+3, mais les premiers chapitres sont abordables pour les étudiants de 1er cycle des facultés. Des vues de réalisations industrielles permettent au lecteur d'apprécier les résultats spectaculaires obtenus. Ce livre de Mathématiques dévoile « la boîte noire » des modèles mathématiques qui sont à l'intérieur des logiciels de CAO.
SOMMAIRE
Préface de P. Bézier. Avant-propos des auteurs.
CHAPITRE 1. Modèle des courbes de Bézier. 1 Introduction. 2 Première définition. 3 Propriétés locales. 4 Définition N°2 (par vecteurs et contraintes). Polynômes. 5 Construction des courbes. 6 Définition N°3 (Suites barycentriques). 7. Hodographes. 8 Géométrie des courbes de Bézier. 9 Courbes composites.
CHAPITRE 2. Modèle des courbes B-splines. 1 Fonctions et courbes B-splines uniformes. 2 Fonctions B-splines uniformes. 3 Courbe B-spline uniforme. 4 Géométrie des courbes splines. 5 Fonctions B-splines générales. 6 Courbes B-splines générales. 7 Hodographes de ces courbes. 8 Courbes B-splines (exemples).
CHAPITRE 3. Modèles rationnels. 1 Introduction. 2 Définition des « Nurbs ». 3 Propriétés. 4 Modèlisation des coniques. 5 Algorithmes de construction.
CHAPITRE 4. Les carreaux de Bézier. 1 Définition d'un carreau. 2 Définition matricielle, aspects numériques. 3 Courbes tracées sur un carreau. 4 Suites barycentriques relatives à un carreau. 5 Notion de sous-carreaux. 6 Hodographes partiels. 7 Modification des degrés. 8 Etude locale à l'ordre 1. 9 Etude locale au second ordre. 10 Raccordements de carreaux. 11 Note sur les autres modèles.
CHAPITRE 5. Les facettes triangulaires de Bézier. 1 Triangles de Bézier. 2 Propriétés de ces facettes. 3 Dérivée suivant une direction. 4 Construction d'un point courant. 5 Calcul de dérivées. 6 Elévation du degré. 7 Sous-facettes triangulaires.
CHAPITRE 6. Interpolation. 1 Interpolation de Lagrange. 2 Interpolation d'Hermite. 3 Interpolation par des fonctions splines. 4 Interpolation paramétrique. 5 Approximation et lissage. Exercices sur l'ouvrage. Sur le chapitre1 (1 à 25). Sur le chapitre 2 (26 à 44). Sur le chapitre 3 (45 à 51). Sur les chapitres 4 et 5 (52-74). Sur le chapitre 6 (75 à 94). Annexes 1-2-3-4. Bibliographie.